在一台1970年代的PDP-11上训练Transformer需要多久？答案是5.5分钟

试想一下，如果把当下大火的大模型技术带回 1970 年，会发生什么？

彼时，没有 GPU、没有 CUDA，也没有浮点数，甚至没有任何深度学习框架，只有一台 PDP-11 小型机，以及一门几乎已经退出历史舞台的语言：汇编语言。

近日，一位开发者给出了答案。他复现了那个年代的技术环境，用 1970 年代的 PDP-11 汇编语言，实现了一个 Transformer，并且真正训练成功了，这个项目叫做 ATTN-11。

具体来看，就是在 1970 年代的小型机 PDP-11 上，用纯汇编语言，实现一个单层、单头的 Transformer，并完成一个「序列反转」的任务，即输入一串数字，输出其反序结果。

比如，输入：4 7 4 9 6 3 6 5，输出：5 6 3 6 9 4 7 4。

看似很容易，但关键特征是，机器无法通过「记住内容」来完成这个任务，必须理解「位置之间的映射关系」。而这恰恰是自注意力（Attention）机制的的核心能力。

项目结果显示，在一台 1970 年代的计算机上，一个仅有 1216 个参数、单层单头的 Transformer，在约 350 步训练后就实现了 100% 的准确率，而训练时间只有 5 分钟左右。

有意思的是，由于 PDP-11 时代，程序的主要存储介质是 Paper Tape（穿孔纸带），因此，该项目开发者又称该项目为「Paper Tape is All You Need」。

而当开发者将该项目发布之后，引起了网友的热议。

当下，大模型的发展主要围绕 Scaling Law 展开，更多的参数 ，更多的数据，更的多算力…… 而 ATTN-11，却在极低的资源、极简的结构下，成功实现功能闭环。因此，大家不禁在思考：Transformer，到底需要什么？

一位网友该项目「在 PDP-11 上训练只要 5 分钟」表示惊讶，而更让他震惊的是，这似乎说明「我们其实一直都可以做到这些？？？」

另一位网友则认为，不必惊讶，是的，我们一直可以做到这些。因为，「1980 年代的 Cray 超级计算机非常厉害，尤其在矩阵乘法方面性能极其强大。

比如一台 1984 年的四核 CPU Cray X-MP，可以持续提供 800 MFLOPS 到 1 GFLOPS 的算力，如果配上一块 1GB 的 SSD，在算力和带宽上已经足以在半年内训练一个 700 万到 1000 万参数的语言模型，并以每秒 18 到 25 个 token 的速度进行推理。

而到了 1990 年代中期，一台 Cray T3E 的算力，就已经可以承载 GPT-2（1.24 亿参数）规模的模型，这要比 OpenAI 早 24 年。

而我自己，甚至还用一台 1965 年的打孔卡计算机，通过反向传播学会了 XOR。

真正的瓶颈从来都不是硬件，而是想法。」

另一位网友也现身说法，他举了后量子密码学的例子。他表示，基于格（lattice）的加密方案早在 1990 年代就已被提出，但真正走向产业落地，却花了整整几十年，而问题的关键不在于数学不成熟，也不在于硬件不足，而是让这些理论真正「跑起来」的关键思路，当时还没有出现。

接下来，详细了解一下具体项目实现。

开发者称，该项目是 Xortran 的精神续作，Xortran 是一个在 IBM 1130（1965 年）和 PDP-11/20（1970 年）上，用 Fortran IV 实现反向传播来学习 XOR 运算的神经网络。

自然而然地，下一步就想看看这些机器是否能在可接受的时间内（几小时）成功训练一个小型 Transformer。

从架构上看，Transformer 实际上只是基础神经网络的适度扩展。矩阵乘法、反向传播、随机梯度下降（SGD）和交叉熵等构建模块早已存在。

新增的三个部分是：

• 自注意力：映射后的查询（Query）与键（Key）之间的点积得分；
• 位置编码：学习到的位置嵌入，加到输入上；
• Softmax：将得分转换为概率分布；

该项目的目标是训练一个 Transformer 来反转数字序列。尽管看似简单，但对神经网络来说，模型必须学会将每个 token 路由到仅由其索引决定的位置，没有基于内容的捷径。而这类问题正是为自注意力设计的，实际上也是 Tensor2Tensor（谷歌 2017 年原始 Transformer 的参考实现）中包含的算法基准之一。

架构

数据路径很直接，token 被嵌入，通过带有残差连接的自注意力层，然后映射回词表并通过 softmax 得到预测：

该模型是一个极简的 Transformer：嵌入、带残差连接的自注意力、输出映射。它是真正的带自注意力的 Transformer，但既不是 BERT 也不是 GPT：没有层归一化、没有前馈网络、没有解码器。

该任务中，不需要对 token 表示做任何变换，因此注意力和残差连接就足够了。层归一化在深层网络中用于防止激活漂移，但在单层中并不需要。

针对 1970 年代硬件的优化

第一次实现沿用了 Xortran 的方案，并使用 Fortran IV 编写。在统一学习率为 0.01 的情况下，模型完成 100 步训练需要 25 分钟，而要达到 100% 的准确率则需要约 1500 个训练步数。这在真实硬件上大约相当于 6.5 小时的训练时间，在 IBM 1130 上甚至可能需要整整一周。

即便是按照 1970 年代的标准来看，这样的耗时也是难以接受的，因为当时的计算机通常采用分时共享机制，计算资源非常宝贵。

因此，第一次改进是将统一学习率替换为手动调优的分层学习率：

编码「反转模式」的注意力权重更适合使用较高的学习率，而输出映射层在较小学习率下收敛效果更好。通过这一调优，训练步数降至 600 步，预计训练时间约为 2.5 小时。

优化器采用的是最基础的随机梯度下降（SGD）。像 Adam 这样的优化器虽然可以为每个参数自适应调整步长，但代价是每个权重需要额外维护两个状态向量，使参数所占内存增加到原来的 3 倍。同时，每次更新还需要进行平方根和除法运算，即便在配备 EIS 的 PDP-11 上，这些操作也依然开销较大。

相比之下，分层学习率在不增加额外成本的情况下实现了类似效果，而且由于模型规模较小，这三组学习率可以手动调优。此外，这也使得 Transformer 可以装入 32KB 的核心内存，而不是 64KB，这在 1970 年代尤为关键。

补充说明：由于采用裸机汇编实现，ATTN/11 的内存占用并不高于 Xortran，后者还需要承担 RT-11 V3 操作系统和 Fortran 运行时的开销。最终生成的二进制文件也相当紧凑，仅为 6179 字节。

NN11

核心算术运算基于 NN11，这是一个为 ATTN/11 和 PDP-11 设计的最小化定点神经网络计算栈。

NN11 的组织结构类似于 BLAS，分为多个层级：最底层是标量基础操作（FXMATH）；其上是向量运算，如点积和缩放（VECOP）；再往上是矩阵–向量运算（MATOP），每一层都构建在下层之上。

此外，还有两个模块将该计算栈扩展到线性代数之外：一个是激活函数及其查找表（ACTFN），另一个是层级操作（LAYER），用于将前述运算组合起来，实现、映射以及注意力等功能。

这些算术计算会根据不同的计算阶段进行适配：

在 PDP-11 上，前向计算使用 Q8、反向传播使用 Q15 的组合非常契合：将一个 Q8 数与一个 Q15 数相乘，会在一个 32 位寄存器对中得到 Q23 的结果，只需一次「ASHC #-8」操作即可将其缩放回 Q15。

因此，反向传播中的乘法开销并不高于前向计算，同时还能让梯度的精度达到激活值的 128 倍。

经过优化后，模型在 350 步内即可收敛，使得在开发者的 PDP-11/34A 上，总训练时间缩短至仅 5.5 分钟。

在该项目中，开发者并没有使用真正的纸带读取器，因此是通过控制台将目标代码直接写入内存。

以下是运行该 Transformer 后的结果：

原型

在正式转向汇编实现之前，必须先验证其正确性。因此，开发者先在 Sheaf 中对浮点和定点算术进行了原型设计与验证。Sheaf 是开发者开发的一个函数式 ML 框架，内置了可观测性机制。

对于这类机器学习工作，Sheaf 相比 Python 有几个优势：

• 代码量大约减少三分之一；
• 其纯函数式语义带来了更强的正确性保障；
• 能够对每一个中间张量进行内置追踪，包括其形状、数值范围以及计算时间。在开发定点算术时，这一点尤为关键。

例如，在「vtmul」上设置一个范围保护，可以立刻捕捉到遗漏「>>8」位移的问题：

浮点与定点两种原型实现都可以在「proto」文件夹中找到，同时还包含最初的 Fortran 版本。

实现细节

由于没有浮点运算单元，超越函数（如 exp、log）被预先计算的查找表所替代。在 PDP-11 上，一次查表只需一条「MOV」指令，其开销远低于多项式近似或 CORDIC 算法。

Softmax

Softmax 使用一个包含 256 个条目的查找表（EXPTBL，Q8），将每个索引 i 映射为 exp (−i/32)。计算分为三个步骤：

• 找到输入向量中的最大值，并从每个元素中减去该值，以保证数值稳定性；
• 将差值（max − x_i）除以 8，作为查表索引，并限制在 [0, 255] 范围内；
• 将得到的 exp 值除以它们的总和（通过 FXDIV），得到概率分布。

该查找表大约覆盖了输入范围内的 8 个单位，在趋近于 0 之前，这对于一个 10 类词表来说已经完全足够。

交叉熵损失

损失函数每 50 步计算一次，用于报告训练过程。它依赖另一个查找表（LOGTBL，257 个条目，Q12），将每个值 x ∈ [0, 256] 映射为 −ln (x/256) × 4096。

计算流程遵循标准路径：先对 logits 做 softmax，读取目标 token 的概率，然后在查找表中查得 −ln (p)。8 个位置（每个序列位置一个）的结果累加到一个 32 位寄存器对中（因为 8 个 Q12 值的和可能超过 16 位），再通过「ASHC #-3」除以 8。Q12 精度（1/4096 ≈ 0.0002）可以提供四位小数，足以用于监控收敛过程。

查找表

ATTN/11 使用两个查找表。第一个将每个索引映射为 Q8 表示的 exp (−i/32)，在 softmax 中用一条「MOV」指令替代指数计算。另一个表主要用于便利计算，将每个值映射为 Q12 表示的 −ln (x/256)，每 50 步用于计算交叉熵损失，以监控模型收敛情况。

两个查找表均通过 Sheaf 脚本离线生成，并以 .WORD 常量的形式存储在源代码中。

交叉熵梯度

反向传播利用了 softmax 与交叉熵组合的一个经典性质：logits 的梯度可以简化为

从而在训练过程中完全避免了对数运算的开销。该结果最初以 Q8 表示，随后左移 7 位转换为 Q15，这是整个反向传播过程中使用的数值格式。同一个 SFTMX 例程同时用于前向与反向计算，无需单独实现反向传播版本。

最后补充一点：在这些算法的开发过程中，开发者仅将 AI 工具作为辅助使用，而所有的设计决策、缩放策略，以及数值验证，均是在硬件上由人工完成的。

内存布局

ATTN/11 总共占用 19.2 KB 内存。下表展示了其内存分布情况，整理自 MACRO-11 汇编器的输出列表：

这 1216 个参数由于计算需要被复制了三份：Q16 累加器（4.8 KB）、用于前向计算的 Q8（2.4 KB），以及用于梯度的 Q15（2.4 KB）。仅模型本身就占用了 9.6 KB，是整体内存使用中占比最大的部分。

构建

构建所需的两个条件是：MACRO11 汇编器，以及用于将目标代码转换为可加载二进制文件的 obj2bin 工具。

运行

运行，需要具备以下条件之一：

• 一台真实的 PDP-11，且其 CPU 支持 EIS 指令，并配备 32KB 的核心内存或 MOS 内存；
• 或使用 ll-34：这是我设计的一款电路级、微周期精确的 PDP-11/34 模拟器，可作为真实硬件的数字复刻。

ll-34 几乎可以视作拥有一台真正的 11/34。启动 ATTN/11 的方式如下：

或者，如果只是想快速体验，可以使用这里提供的 WebAssembly 版本：

• https://dbrll.github.io/ll-34/。

SIMH 也可以使用，但它模拟的是 PDP-11 的高层行为（而非电路级），并以宿主机 CPU 的速度运行。虽然可以通过人为方式降低速度，但其时序并非周期级精确，因此不太适合用于性能调优或还原真实体验。

大家详细了解该项目后有何感想，可以在评论区留言交流！

参考链接：

https://github.com/dbrll/ATTN-11?tab=readme-ov-file#attn11---paper-tape-is-all-you-need

https://news.ycombinator.com/item?id=47518568

文章来自于"机器之心"，作者 "机器之心编辑部"。